ماذا تعرف عن نظرية المحددات وكيف يمكن تطبيقها فى الواقع العملى؟

إن نظرية المحدِّدات determinants ذات صلة قوية بنظرية المصفوفات[ر]، كما أن بدايات النظريتين تعود إلى نهاية القرن السابع عشر وبداية القرن الثامن عشر؛ متزامنة مع دراسة حل جملة معادلات خطية. وقد أسهم كثيرون من علماء الرياضيات في تطوير هاتين النظريتين، منهم ليبنتز Leibniz وكرامر Cramer وماكلوران Maclaurin وبيزو Bézout وفاندرموند Vandermonde ولاغرانج Lagrange ولابلاس Pierre Simon Laplaceمابين () الذي أعطاه التعريف التراجعي الآتي: إذا كانت Mn(F) مجموعة كل المصفوفات المربعة ذات المرتبة n المعرفة على حقل F، فإن: 

المحدِّد (المُعَين) من المرتبة n هو التطبيق (الدالة): 

المعرّف كما يلي: 

1) إذا كانت n =1 كانت المصفوفة A = [a] وكان محدِّدها det A = a.

2) إذا كانت n >1 كان محدِّد المصفوفة A =[aij] هو:

det A = a det A - a det A + a det A - … + (-1) n+1 a1n det A1n

حيث الرمز Aij يعني المصفوفة الجزئية من A؛ والناتجة من حذف السطر i والعمود j من المصفوفة A.

يعطي هذا التعريف معنى للمحدِّد من المرتبة (n >1) n بدلالة المحدِّد من المرتبة (n –1) وهكذا بصورة تراجعية ...

كما يرمز غالبًا لمحدِّد المصفوفة A = [aij] بالرمز |aij|؛ أي إن det [aij] يكتب |aij|.

إن العلاقة التي استخدمت لتعريف قيمة المحدِّد det A يمكن تسميتها عملية نشر المحدِّد وفق سطره الأول. ويمكن البرهان على أن قيمة المحدِّد لا تتغير إذا نُشر بالنسبة لأي سطر من أسطره، أو أي عمود من أعمدته. أي إنه إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F)أي (A Î Mn(F) كان:

مثال (1) : آ) إن محدِّد المصفوفة A = [-5] هو det A = -5.

ب) محدِّد المصفوفة 

ج) محدِّد المصفوفة 

خواص المحدِّدات 

(1) إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F)أي (A Î Mn(F)، وكانت B المصفوفة الناتجة من A بعد ضرب أحد أسطرها (أو أحد أعمدتها) بعدد λ من F (أي λ Î F)؛ فإن:

det B = λ det A.

مثال (2): إذا كانت

هي المصفوفة الناتجة من A بعد ضرب عمودها الأول بالعدد (-2) فإن det A = - وdet B = (-2) (-) =.

(2) يمكن إخراج عامل مشترك بين عناصر سطر (أو عمود) في محدِّد، خارج المحدِّد.

(3) إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F، وكانت λ من F (أي λ Î F) فإن: det (λA) = λn. det A.

مثال (3): 

حيث تم أولاً إخراج العامل المشترك (2) من العمود الأول، ثم إخراج العامل المشترك () من السطر الثاني، ثم إخراج العامل المشترك (-5) من السطر الأول والعامل المشترك (3) من العمود الثاني. 

(4) إذا تم التبادل بين سطرين (عمودين) مختلفين في مصفوفة A، فنتجت مصفوفة B؛ فإن: det B = - det A (أي إن التبادل بين سطرين أو عمودين يغير إشارة الناتج).

مثال (4): إن 

(5) إذا تساوى سطران ( أو عمودان ) في مصفوفة A؛ فإن det A =0 .

مثال (5): إن

(6) إذا تناسب سطران ( أو عمودان ) في مصفوفة A فإن det A =0.

مثال (6): إن 

(7) إذا كانت A = [aij] وB = [bij] وC = [cij] ثلاث مصفوفات من Mn(F) لها العناصر نفسها؛ عدا عناصر السطر k في كل منها (أو عمود)، حيث:

akj = λ bkj + m ckj ; j =1,2,3, … , n ; λ, m ε F

فإن det A = λ .det B + m .det C .

مثال (7): إن

(8) إذا أضفنا إلى سطر (عمود) مضاعف سطر (عمود) آخر في محدِّد؛ لا تتغير قيمته.

مثال (8): إن 

(9) إذا حوى محدِّد على سطر (عمود) صفري؛ فإن المحدِّد يساوي الصفر.

() إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المرتبة n على حقل F، فإن محدِّد المصفوفة A يساوي محدِّد منقولها AT. (أي det A = det AT).

مثال (9): إن

محدِّد مصفوفة مثلثية

يقال عن مصفوفة مربعة: إنها مثلثية عليا إذا كانت جميع عناصرها الواقعة تحت قطرها الرئيسي تساوي الصفر.

أي إن المصفوفة المربعة A = [aij] مثلثية عليا إذا كان aij =0 لكل i > j.

ويقال عن مصفوفة مربعة إنها مثلثية دنيا إذا كانت جميع عناصرها الواقعة فوق قطرها الرئيسي تساوي الصفر. (عناصر القطر الرئيسي هي aii حيث i =1,2, …, n).

أي أن المصفوفة المربعة A = [aij] مثلثية دنيا إذا كانت aij =0 لكل i < j.

مثال ():

محدِّد مصفوفة مثلثية (عليا أو دنيا) يساوي حاصل جداء عناصر قطرها الرئيسي.

مثال ():

تطبيقات المحدِّدات في حساب المساحات والحجوم

أ ) في حساب المساحات

ليكن المثلث ABC المرسوم في المستوي المنسوب للجملة الإحداثية المتعامدة oxy.

ولتكن A (a1, a2) وB (b1, b2) وC (c1, c2).

من المعلوم أن مساحة هذا المثلث هي نصف القيمة المطلقة للجداء المتجهي 

ومن تعريف الجداء المتجهي (الخارجي) [ر. المتجه] تكون المساحة:

الشكل (1)

مثال (): إن مساحة متوازي الأضلاع ABCD حيث :

D (-2,9) وB (7,5) و A (-5,2)

الشكل (2)

مثال (): إن مساحة الشكل الرباعي ABCD حيث: A (3,1) وB (,4) وC (,9) وD (6,)

هي مجموع مساحتي المثلثين ABC وACD ومن ثم فمساحة الشكل الرباعي هي:

الشكل (3)

ب ) في حسابات الحجوم

ليكن متوازي السطوح ABGCDEFH المرسوم في الفراغ المنسوب للجملة الإحداثية المتعامدة oxyz. ولتكن:

A (a1, a2, a3) وB (b1, b2, b3) وC (c1, c2, c3) وD (d1, d2, d3). 

إن حجم متوازي الشطوح هو القيمة المطلقة للجداء المختلط 

الشكل (4)

مثال (): إن حجم متوازي السطوح ABCDA’B’C’D’ حيث: A (1,,2) وB (-3,,7) وA’ (-2,5,) وD (-8,,5)

تطبيقات المحدِّدات في حل جملة معادلات خطية

إن كل معادلة من الشكل a1x1 + a2x2 + … + anxn = b، حيث a1, a2, …, an, b تنتمي لحقل F تدعى معادلة خطية على F في المتحولات x1, x2, …, xn. 

إن مجموعة المعادلات الخطية:

ax1 + ax2 + … + a1nxn = b1

ax1 + ax2 + … + a2nxn = b2

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn

المؤلفة من m معادلة خطية ذات n مجهول تدعى جملة معادلات خطية.

وقد استخدم الرياضي كرامر Gabriel Cramerمابين() المحدِّدات في إيجاد الحلول لجملة معادلات خطية ذات عدد من المجاهيل يساوي عدد المعادلات.

طريقة كرامر في حل جملة n معادلة خطية في n مجهول 

لحل جملة n معادلة خطية ذات n مجهول

ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi ; i =1.2. …. n

يحسب محدِّد مصفوفة الأمثال:

فإذا كانت تم0¹D فإن للجملة حلاً وحيداً:

حيث ∆i هو محدِّد المصفوفة Ai الناتجة عن مصفوفة الأمثال A بعد حذف عمودها i وإبداله بالعمود [b1 b2 … bn]T.

فمثلاً لحل جملة المعادلتين الخطيتين:

a x + b y = c

a’ x + b’ x = c’

يحسب محدِّد الأمثال 

فإذا كانم0¹D ، يحسب كل من المحددِّين

ويكون للجملة حل وحيد

أما إذا كانم0=D فنميز حالتين:

فيوجد عدد لا نهائي من الحلول إذ أن المعادلتين غير مستقلتين في هذه الحالة، فهناك معادلة واحدة فقط، ومن ثم يوجد مجهول اختياري؛ والآخر يحسب بدلالته، فمجموعة الحل هي:

{(α, β) &Icirc; R2 : α a + β b = c}.

فالجملة مستحيلة الحل، ومجموعة الحل هي المجموعة الخالية f.

مثال (): لحل جملة المعادلتين الخطيتين:

X3x +2 y =0 وxx +3 y =n

نحسب محدِّد الأمثال

ثم نحسب كلاً من :

ويكون للجملة حل وحيد:

مثال (): لحل جملة المعادلتين الخطيتين:

X3x -2 y =5 وxx - y =9n

نحسب محدِّد الأمثال

ثم نحسب كلاً من :

فالجملة مستحيلة الحل، ومجموعة الحل هي f.

وهذا واضح لأنه إذا ضُرِب طرفا المعادلة

x3x -2 y =5 بالعدد5؛ فينتج xx - y = ومن المعادلتين نجد أن =9 وهذا مستحيل .

مثال (): لحل جملة المعادلات الخطية:

x - z =4

x2x + y - z =4

x +2y +5z =8

نحسب محدِّد الأمثال

فنحسب كلاً من:

فللجملة حل وحيد:

مثال (): لحل جملة المعادلات الخطية:

x +2y +3z -2u =6

x2x - y -2z -3u =8

x3x +2y - z +2u =4

x2x -3y +2z + u = -8

نحسب محدِّد الأمثال:

حيث ضُرب السطر الأول بالعدد -2، وجُمع للسطر الثاني، ثم ضُرب السطر الأول بالعدد -3، وجُمع للسطر الثالث، ثم ضُرب السطر الأول بالعدد -2، وجُمع للسطر الرابع، ونُشر بعد ذلك بالنسبة للعمود الأول؛ فنتج محدِّد ثلاثي، إذا نُشر تم الحصول على الجواب.

وبما أن م0¹D تفيُحسب كل من المحدِّدات: